Solución ejercicios de micro

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Solución Ejercicios Capítulo 4-5
April 21, 2015
Problemas
4.1 Utilidad:
•
U (t, s) =
√
ts
Si los pastelillos (t) cuestan $0.10 cada uno y la bebida(s) $0.25 por vaso,
¾Pablo cómo debe gastar el dólar que le da su madre para maximizar su
utilidad?
Maximiceos Utilidad, por proceso lagrangiano.
L=
√
ts+λ (I − Pt t − PS s)
C.P.O
(1)
∂L
∂t
=
(2)
∂L
∂s
∂L
∂λ
=
√
√s
2 t
√
√t
2 s
− λPt = 0
− λPs = 0
(3)
= I − Pt t − PS s = 0
(1) entre (2)
√
s
√
2√ t
√t
2 s
=
λPt
λPs
√ 2
2( s)
√ 2
2( t)
=
Pt
Ps
s
t
=
Pt
Ps
(4) s = PPst t
(4) en (3)
I − Pt t − PS PPst t = 0
I − Pt t − Pt t = 0
I − 2Pt t = 0
(5) t∗ = 2PI t
Por reciprocidad tenemos que
(6) s∗ =
I
2Ps
1
=5
t∗ = 2(0.1)
1
∗
s = 2(0.25)
=2
Pablo debe gastar el dolar que le da su madre así:
poder maximizar su utilidad.
U=
√
5×2=
√
10
1
t∗ = 5
y
s∗ = 2
para
•
Precio de t aumenta a $0.40, ¾Cuanto dinero mas tendra que dar la madre
de Pablo para que mantenga el mismo nivel de utilidad
√
√
U = 5q× 2 = 10
√
I
I
10 = 0.8
× 0.5
q
√
I2
10 = 0.4
2
I
10 = 0.4
0.4 × 10 = I 2
4 = I2
2=I
t? = 2.5
s∗ = 4
Así la madre de Pablo tendra que dar $1 de más para que pueda mantener
su nivel de utilidad.
4.2 Utilidad:
2/3
1/3
U (wf , wc ) = wf wc
Sea
I = 300
Pf = 20
PC = 4
2/3
1/3
L = wf wc + λ (I − Pf wf − Pc wc )
1
2
Sea α =
3 β = 3
(1)
(2)
(3)
α−1 β
∂L
wc − λPf = 0
∂wf = αwf
∂L
α β−1
− λPc = 0
∂wc = βwf wc
∂L
=
I
−
P
w
−
P c wc = 0
f f
∂λ
(1) entre (2)
αwfα−1 wcβ
=
Pf
Pc
wc =
Pf
Pc
βwfα wcβ−1
(4)
 
α
β
 
β
α
wc
wf
=
Pf
Pc
wf
(4)en (3)
 
P
β
wf = 0
I − Pf wf − Pc Pfc α

 
β
I − wf Pf + Pf α
=0
(5)
wf∗ =
I
(Pf +Pf ( αβ ))
(5) en (4)
 
P
β
wc = Pfc α
wf∗ =

I − Pf wf − Pf wf
I
(Pf +Pf ( αβ ))
300

20+20
1
3
2
3

wc∗ =
 
β
α
= 10
2
I
(Pc +Pc ( αβ ))
 
β
α
=0
wc∗ =
1
3
2
3

300
 1 
4+4 32
= 25
3
•
Si el precio de
wf
a disminuido a $10 y el precio de
wc
se mantiene con-
stante, cantidades optimas en esta situación.
wf∗ =
wc∗ =

300

10+10
1
3
2
3

1
3
2
3

= 20
300
 1 
4+4 32
= 25
3
•
Explique por qué este amante de los vinos está en mejor posición en el
inciso b que en el inciso a. ¾Usted cómo asignaría un valor monetario a
este incremento de su utilidad?
Calculemos Utilidad de ambos incisos
Ua = 102/3 251/3 = 13, 5
Ub = 202/3 251/3 = 21, 5
Esta en mejor situacion en el inciso b, puesto la su utilidad tras dichas
elecciones optimas es mayor que la utilidad que percibe con las elecciones optimas del inciso a.El valor monetario lo asignaria calculando la tiidad indirecta y
observaria el incremento del ingreso requerido.
4.3
•
U (c, b) = 20c − c2 + 18b − 3b2
¾Cuanto cigarros y copas de brandy consume esa noche?
sin tener en
cuenta el costo, no es obstaculo
L = 20c − c2 + 18b − 3b2
(1)
(2)
De
∂L
∂c
∂L
∂b
(1)
= 20 − 2c = 0
= 18 − 6b = 0
tenemos:
20 = 2c
10 = c
(2) tenemos:
18 = 6b
3=b
U = 127
De
Así cosumira 10 cigarrillos y 3 copas de brandy
•
Limita su consumo a 5 entre cigarrilos y brandy, ¾Cúanto consumirá en
esta nueva circunstancias?
•
Es decir
c+b=5
3
20 − 2c = 18 − 6b
−2c = −2 − 6b
c = 1 + 3b
1 + 3b + b = 5
1 + 4b = 5
4b = 4
b=1
Por tal
c = 1 + 3 (1)
c=4
El consumo sera en la nueva circunstancia es de 4 cigarrillos y 1 copa de
brandy
U (x, y) =
4.4 Utilidad:
•
p
Maximice la utilidad si
x2 + y 2
Px = $3
y
Py = $4
y
I = 50
Debido a que es una función monotanomaente creciente resulta lo mismo max-
U2
L = (x2 + y 2 ) + λ (I − Px x − Py y)
imizar
(1) ∂L
∂x = 2x − λPx = 0
(2) ∂L
∂y = 2y − λPy = 0
∂L
(3) ∂λ = I − Px x − Py y = 0
(1) entre (2)
Px
2x
2y = Py
(4)
x=
Px
Py y
(4) en(3)
x
I − Px P
P y y − Py y = 0
P2
I − PXy y − Py y = 0
 2

P
−y PXy + Py = −I
(5)
y∗ =
I

P2
X
Py
(5) en (4)
I
x 
x∗ = P
Py P 2
X
Py
x∗ =

+Py

+Py
IPx
(Px2 +Py2 )
=8
y ∗ = 950
( 4 +4)
50×3
∗
x = (9+16)) = 6
√


U=
82 + 62 = 10
4
•
¾Qué dice la gráca sobre el comportamiento del Sr. B? ¾Ha encontrado
usted un auténtico máximo?
Esto no es un máximo local porque las curvas de indiferencia no tienen una RMS
decreciente . Por lo tanto, tenemos condiciones necesarias pero no sucientes
para un máximo.
4.5
•
U = (g, v) = min
g
2, v


Dibuje la curva de indiferencia del Sr. A en términos de g y v para diversos
niveles de utilidad.
Muestre que, independientemente de los precios de
los dos ingredientes, el Sr. A nunca alterará la forma en que mezcla los
martinis.
De nada importa cuál sea el precio relativo es (es decir, la pendiente de la
restricción presupuestaria) la intersección de la utilidad máxima será siempre
en el vértice de una curva de indiferencia donde
•
Funciones de Demanda
Como es de proporciones ja:
g
2
=v
5
g = 2v
g = 2v
I = Pg g + Pv v
I = Pg 2v + Pv v
I = v (2Pg + Pv )
I
(2Pg +Pv )
2I
(2Pg +Pv )
•
= v∗
= g∗
Función de Utilidad Indirecta
V (Pg , Pv , I) =
•
g
2
2I
(2Pg +Pv )
=
×
1
2
=
I
(2Pg +Pv )
Función del Gasto
E (Pg , Pv , U ) = (2Pg + Pv ) U
0.5
U (x, y, z) = x0.5 y 0.5 (1 + z)
Px = 0.25, Py = 1,Pz = 2 , I = 2
4.6
•
Tomando z=0, la maximizacion de la utilidad da como resultado las mismas elecciones optimas del punto 4.1
0.5
L = x0.5 y 0.5 (1 + z) + λ (I − Px x − Py y − Pz )
0.5
−0.5 0.5
y (1 + z) − λPx = 0
(1) ∂L
∂x = 0.5x
0.5
0.5 −0.5
y
(1 + z) − λPy = 0
(2) ∂L
∂y = 0.5x
(3) ∂L
∂λ = I − Px x − Py y − Pz z = 0
(1) entre (2)
0.5x−0.5 y 0.5 (1+z)0.5
0.5x0.5 y −0.5 (1+z)0.5
y(1+0.5)0.5
x
=P
Py
x(1+0.5)0.5
y
Px
x = Py
x
(4) y = P
Py x
=
Px
Py
(4) en (3)
x
I − Px x − P y P
Py x − Pz z = 0
I − Px x − P x x − Pz z = 0
I − 2Px x − Pz z = 0
−2Px x = Pz z − I
Pz z
x = −2P
+ 2PI x
x
Ahora si hacemos z=0, tenemos
Pz 0
x = −2P
+
x
x = 0 + 2PI x
x∗ = 2PI x
I
2Px x
Por reciprocidad
6
y∗ =
I
2Py
Que son las mismas elecciones optimas del punto 4.1
Demanda:
2
x∗ = 2(0.25)
=4
2
∗
y = 2(1) = 1
z∗ = 0
U = 40.5 10.5 = 4
Miremos para z>0
z = 0.5
2×0.5
2
x = −2×0.25
+ 2×0.25
=2
0 = 2 − (0.25 × 2) − (2 × 0.5) − y
−0.5 = −y
0.5 = y
0.5
U1 = 20.5 0.50.5 (1 + 0.5) = 1.22
Aqui mostramos que para valores de z>o disminuyen la utilidad.
•
z=0 es un optimo puesto garantiza que la utilidad sea la maxima posible.
•
¾Los ingresos de este individuo qué tan altos deben ser para que pueda
comprar una cantidad z cualquiera?
Si tomamos a
4
I = 10
las elecciones optimas claraente son
x = 16,
y=
z=1
Un mayor ingreso hace posible consumir z como parte de una utilidad máx-
ima. Para encontrar la renta mínima a la que se compraría cualquier fraccion
de z, si asumimos que el hecho de que con la Cobb-Douglas esta persona va a
gastar cantidades iguales en
(x, y)
y
(1 + z)
es decir:
Px x = Py y = Pz z(1 + z)
Sustituimos esto en la restricción presupuestaria tenemos:
2Pz (1 + z) + Pz z = I
3Pz z = I − 2Pz
Por lo tanto sucede que:
Si
z>0
debe suceder que
4.7U (x, y)
•
I > 2Pz
o
= xα y 1−α
Función de Utilidad indirecta
L = xα y 1−α + λ (I − Px x − Py y)
α−1 1−α
(1) ∂L
y
− λPx = 0
∂x = αx
∂L
(2) ∂y = (1 − α) xα y −α − λPy = 0
(3) ∂L
∂λ = I − Px x − Py y = 0
(1) entre (2)
(4)
αxα−1 y 1−α
(1−α)xα y −α
=
Px
Py
7
I>4
(4)
y∗ =
Px
Py
1−α
α


x
(4) en (3)


1−α
x
I − Px x − P y P
x=0
Py
α


1−α
I − Px x − Px α

x = 0
=0
I − xPx 1 + 1−α
α
x∗ = P 1+I 1−α
( α ))
x(


y∗ = P 1+I 1−α × 1−α
α
( α ))
y(
Porl lo tanto la funcion de utilidad indirecta es:
V (Px , Py , I) = U [µ (Px , Py , I)]
α 

I
×
= P 1+I 1−α
Py (1+( 1−α
( α ))
x(
α ))
1−α
α


1−α
Porl lo tanto la funcion del gasto es:

E (Px , Py , I) =
•
I
Px (1+( 1−α
α ))
α 
I
Py (1+( 1−α
α ))
×
1−α
α


α−1
¯
U
Compensación requerida para equilibrar depende del tamaño del exponente.
∂e
∂Px
∂e
∂Px
¯
= α1−α (1 − α)α−1 Pxα−1 Py1−α U
−α
α α −α ¯
= α (1 − α) Px Py U
Es claro entonces que depende del tamaño de exponente
α
4.8 El principio de la suma única ilustrado en la gura 4.5 se puede aplicar
tanto a la política de transferencias como a la tributación. Este problema analiza
la aplicación del principio.
•
Utilice una gráca similar a la gura 4.5 para demostrar que una dotación
de ingresos a una persona proporciona más utilidad que un subsidio para
el bien x, que le cuesta la misma cantidad de dinero al gobierno.
8
•
Utilice la función gasto Cobb-Douglas que presentamos en la ecuación
4.52 para calcular la cantidad extra de poder adquisitivo que necesita esta
persona para incrementar su utilidad de U = 2 a U = 3.
E(Px , Py , U ) = 2Px0.5 Py0.5 U
con
Px = 1
Py = 4,
U =2
Así:
E=8
Para elevar la utilidad a 3 se requerirá:
E = 12
Esdecir un subsidio al ingreso de 4.
•
Utilice la ecuación 4.52 de nueva cuenta para calcular el grado en que
el gobierno debe subsidiar el bien x para incrementar la utilidad de esta
persona de U = 2 a U = 3. ¾Cuánto le costaría este subsidio al gobierno?
¾Compare este costo con el costo que calculó en el inciso b?
Para este caso requerimos que
2
8
=
12
3
E = 8 = 2Px0.5 40.5 3
9
o de igual forma:
Px0.5 =
Px =
Entonces
4
9
es decir cada unidad debe ser subisidiada por
subsidiado la persona compra
5
9
y al precio
x=9
Entonces el subsidiado en mayor en una unidad monetaria que el inciso
anterior, es decir, 5.
•
El problema 4.7 le pide que compare una función gasto para una función
de utilidad Cobb-Douglas más general que la utilizada en el ejemplo 4.4.
Utilice esa función gasto para contestar, de nueva cuenta, los incisos b y
c en el caso donde
α=
0.3; es decir, una cifra cercana a la fracción de los
ingresos que las personas de bajos ingresos gastan en alimentos.
E(Px , Py , U ) = 1.84Px0.3 Py0.7 U
9.71
Px = 1
Py = 4
U = 2
E =
El aumento de U a 3, se requiere gastos extras de 4.86. Subsidiando solo el
bien x a un precio de
Px = 0.26
es decir un subsidio de
precio la persona decidira comprar
x = 11.2
0.74
por unidad. A este
por lo que el subsidio total seria de
8.29
4.9 Función de Utilidad ESC dada por:
U (x, y) =
•
xδ
δ
+
yδ
δ
Demuestre que las condiciones de primer orden para una utilidad máxima
con restricción con esta función exige que los individuos elijan los bienes
en proporcion
x
y
=

Px
Py
1
 δ−1
Maximcemos:
L=
(1)
yδ
xδ
δ + δ + λ (I − Px x − Py y)
∂L
δxδ−1
− λPx = 0
∂x =
δ
δy δ−1
∂L
− λPy = 0
∂y =
δ
∂L
=
I
−
P
x x − Py y = 0
∂λ
(2)
(3)
(1) entre (2)
δxδ−1
δ
δy δ−1
δ
α−1
x
y α−1
x
y
=
=
Px
Py
x
=P
Py
1
  δ−1
Px
Py
Con lo cual queda mostrado.
•
Hacemos caso Cobb-Douglas
δ = 0, para mirar que la asignacion de fondos
es igual.
10
x
y
=

Px
Py
x
y
=
x
y
=
1
 0−1
−1

Px
 Py 
Py
Px
(4)
xPx =Py y
Queda mostrado que asignaran sus fondos a partes iguales.
•
Como depende
Px x
Py y
•

=
Px
Py
Px x
Py y del valor de
δ
δ
 δ−1
Derivar Función del Gasto
Teniamos:
x
y
=
=
x=
Px
Py
1
δ−1
sea
x
y


I−
Por practicidad, por tal:
Px
Px
Py

Px
Py
y
α
y − Py y = 0
Pxα+1
Pyα y − Py y = 0

 α+1
P
y Px α + Py =
y
I


y∗ =
x=
=α
α
 Py α
I − Px
I−
1
 δ−1
α+1
Px
α
Py

Px
Py
α
x∗=  P α+1I
y
α
Px
0
+Py
×
I

α+1
Px
α
Py

+Py

+Px
Funcion de Utilidad Indirecta
"


V = 
I
α+1
Py
+Px
α
Px
1+α
α
 1+α
α




+
I
α+1
Px
α +Py
Py
1+α
α
 1+α
α
#


Así la función del gasto es:
b
E(U, Px , Py ) = U
1+α
α

h
x∗−
1+α
α
y ∗−
1+α
α
i
4.10 Suponga que los individuos necesitan determinada cantidad de alimentos (x) para sobrevivir y que esta cantidad es igual a
11
x0 .
Una vez adquirida la
cantidad
x0 .
los individuos obtienen utilidad de los alimentos y de otros bienes
(y) de acuerdo con la fórmula
U (x, y) = (x − x0 )α y β
•
donde
α+β =1
I > Px x0 el individuo maximizará
α (I − Px x0 ) + Px x0 en el bien x y β (I − Px x0 ) en
Demuestre que si
su utilidad gastando
el bien y. Interprete
este resultado.
x < x0 la utilidad es negativa por lo que sucede primero Px xo Si sucede
I − Px xo ingreso extra, esto no es mas que el problema estandar de una
Para
que
Cobb-Douglas
Px (x − x0 ) = α(I − Px xo ),
•
En este problema, ¾las proporciones
que aumenta el ingreso?
Py y = β(I − Px xo )
Px x
I
y
Py y
I
Calculemos de la proporcion con el presupuesto:
Px x
(1 + α)Px x0
=α+
,
I
I
Py y
βPx x0
=β−
I
I
Miremos en el limite:
Px x
= α,
I
Py y
lim(I → ∞)
=β
I
lim(I → ∞)
12
cómo varían a medida
5.1 Ed el sediento sólo bebe agua mineral, pero la puede comprar en botellas de dos tamaños: una de 0.75 litros u otra de 2 litros. Dado que el agua es
inherentemente idéntica, considera que estos dos bienes son sustitutos perfectos.
•
Suponiendo que la utilidad de Ed sólo depende de la cantidad de agua
que consume y que las botellas no producen utilidad alguna, exprese esta
función de utilidad en términos de cantidades de botellas de 0.75 litros (x)
y de 2 litros (y).
Cantidad de Agua=0.75x
•
+ 2y
Funciones de demanda
SiPx < 38 Py
SiPx >
entonces
3
8 Py entonces
x=
I
Px
x=0
y=0
y=
I
Py
•
Curva de Demanda
•
Cambios de I y del precio de y, dezplazan la curva de la demanda de x asi:
13
Incrementos de I desplazan la curva de la demanda de x hacia afuera, pero las
reducciones en los precios de y no afectan la demanda de x hasta que
Py <
8Px
3
entonces la demanda de x caera a cero.
•
Curva de la demanda compensada: La curva de la demanda compensada
del bien x, es solamente el punto x,px lo que caracteriza el consumot actual;
cualquier cambio del en el precio de x, cambiaria el nivel de utilidad en
este punto. Si se supone que x>0.
5.2 Sean los siguientes datos:
I = $3
mantequilla de cacahuate (Pmc ) = $0.0.5
mermelada (Pm ) = $0.1
•
Cúanta mantequilla y mermelada comprará David por semana con sus $3?
Para maximizar la Utilidad se requiere que:
mc = 2m
La restriccion presupuestaria es:
0.05mc + 0.1m = 3
Si sustituimos tenemos que:
(0.05 × 2m) + 0.1m = 3
0.1m + 0.1m = 3
0.2m = 3
3
= 15
m = 0.2
mc = 2(15) = 30
•
Si
Pm = $0.15
lo que produce:
Reemplazamos:
0.05mc + 0.15m = 3
(0.05 × 2m) + 0.15m = 3
(0.1m) + 0.15m = 3
0.25m = 3
3
= 12
m = 0.25
mc = 24
•
¾Cúanto tendría que aumentar la paga de David para compensar el incremento del precio de la mermelada?
Para continuar comprando
m = 15
y
mc = 30.
David necesita comprar 3
unidadesmas de mermelada y 6 unidades más de mantequilla lo que le generearía
un aumento en su paga igual a:
3(0.15) + 6(0.05) = 0.75
14
•
Gráca representando la situación anterior:
•
Este problema, ¾en qué sentido implica un solo bien: o sea sandwiches de
mantequilla de cacahuate y mermelada? Trace la curva de la demanda de
este único bien.
Como el pan es gratis sucede que:
Psand = 2Pmc + Pm
En la parte a tenemos:
Psand = 0.20
Qsan = 15
En la parte b tenemos:
Psand = 0.25
Qsan = 12
Así la curva se comporta como si fuese un hiperbola:
•
Qsand =
3
PS
Analice los resultados de este problema en términos del efecto ingreso y
el efecto sustitución que implica la demanda de mermelada.
No hay efecto de sustitución debido a la proporción ja. Un cambio en los
resultados de los precios en sólo resultaría evidente por el efecto ingreso.
15
5.3 Como denimos en el capítulo 3, una función de utilidad es homotética
si una línea recta que parta del punto de origen corta todas las curvas de indiferencia en puntos que tienen la misma pendiente; es decir, la TMS depende
de la proporción de y/x.
•
Demuestre que, en este caso, ∂x/∂I es constante.
Px
Py se mantiene constante; por tal las
condiciones de maximizacion de utilidad exique que la RMS permanezca cony
stante. Así si la RMS depende de la relacion
x y esta relacion debe permanecer
cosntante a medida que aumenta el ingreso y como los ingresos se gasta sólo en
A medida que aumenta la renta, la relación
estos dos bienes, x, y son proporcionales al ingreso.
•
Demuestre que si un mapa de curvas homotéticas de indiferencia representa los gustos de un individuo, entonces el precio y la cantidad se deben
mover en direcciones opuestas; es decir, demuestre que la paradoja de
Gien no puede ocurrir.
Puesto que en el inciso anterior, sucede que
bienes Gien no puede ocurrir en tal caso.
∂x
>0
∂I
entonces la paradoja de
5.4 Como en el ejemplo 5.1, suponga que la utilidad está determinada por:
U (x, y) = x0.3 y 0.7
•
Utilice las funciones de demanda sin compensar del ejemplo 5.1 para calcular la función de utilidad indirecta y la función de gasto para este caso.
Tomando
x=
y=
0.3I
Px
0.7I
Py
Tenemos que la Uitlidad indirecta es:
U = 0.30.3 0.70.7 IPx−0.3 Py−0.7 = βIPx−0.3 Py−0.7
La función del gasto:
E = β −1 U Px0.3 Py0.7
•
Utilice la función de gasto calculada en el inciso anterior y el lema de
Shephard (nota 5 a pie de página) para calcular la función de demanda
compensada para el bien x.
Utilizando el lema de shepard tenemos:
xC =
∂E
= 0.3β −1 Px−0.7 Py−0.7
∂Px
16
•
Utilice los resultados del inciso anterior y la función de demanda sin compensar del bien x para demostrar que, en este caso, se cumple la ecuación
de Slutsky.
Para mostrar la ecuación de Slutsky, resulta sencillo en elasticidades con sólo
leer los exponentes de las diversas funciones de la demanda:
x,P x = −1
x,I = 1
xC ,P x = −0.7
Sx = 0.3
Así:
x,P x = xC ,P x − Sx × x,I
−1 = −0.7 − (0.3 × 1)
5.6 En las ampliaciones del capítulo 4 se demostró que la mayor parte de los
trabajos empíricos de la teoría de la demanda se concentran en las porciones de
los ingresos. En el caso de un bien, x, denimos la fracción del ingreso como
Sx =
Px x
I
En este problema, se demostró que podemos derivar la mayor parte
de las elasticidades de la demanda a partir de las correspondientes elasticidades
de las porciones.
•
Demuestre que la elasticidad de la fracción del presupuesto para un bien,
con relación al ingreso
Sx,I =
∂sx
I
× es igual a x,I − 1.
∂I
sx
Interprete esta
conclusión con algunos ejemplos numéricos.
Tenemos que:
Sx,I =
I
IPx ∂x/∂I − Px x
I2
∂Px x/I
×
=
×
= x,I − 1
∂I
Px x/I
I2
Px x
Así por mirar ejemplo:
x,I = 1.3 entonces
Sx,I = 0.3
•
Demuestre que la elasticidad de la fracción del presupuesto para un bien,
con relación a su precio propio
Sx,P x =
∂sx Px
× es igual a x,P x + 1 .
∂Px sx
De
nueva cuenta, interprete este resultado con algunos ejemplos numéricos.
Sx,P x =
∂ (Px x/I)
Px
Px ∂x/∂Px + x I
×
=
× = x,P x + 1
∂Px
Px x/I
I
x
Así por mirar ejemplo:
x,P x = −0.73
Sx,P x = 0.27
entonces
17
•
Utilice los resultados del inciso anterior para demostrar que la elasticidad
gasto del bien x con relación a su precio propiox,P x,P x
también es igual a
x,P x = +1
=
∂(Px × x) 1
×
∂Px
x
Como pueden ser cancelados de la derivación en el inciso anterior , sucede
igual que:
x,P x,P x =x,P x = +1
•
Demuestre que la elasticidad de la fracción del presupuesto para un bien,

con relación a un cambio de precio de otro bien
•

es
x,P y .
igual a
Sx ,P y =
Sx ,P y
∂sx
Py
=
×
∂Py
sx
∂ (Px x/I)
Py
Px ∂x/∂Py
Py I
∂x
Py
×
=
×
=
×
= x,P y
∂Py
Px x/I
I
Px x
∂Py
x
En las ampliaciones del capítulo 4 se demostró que con una función de
utilidad con CES, la fracción de los ingresos dedicada al bien x está de-
1
1 + Pyk Px−k
δ
= 1 − σ .Utilice esta
δ−1
ecuación de la fracción para probar la ecuación 5.56: xC P x = −(1 − sx )σ .
terminada por
sx =
. Tal que
k=
Usando el inciso b, tenemos:
sx ,P x =


kPyk Px−k
kPyk Px−k−1
k −k
P
=
×
P
1
+
P
x


x
y
2
1 + Pyk Px−k
1 + Pyk Px−k
Hagamos
θ = Pyk Px−k
Por tanto
x,P x = sx ,P x − 1 =
kθ − 1θ
kθ
−1=
1+θ
1+θ
x,I = 1
1
θ(k − 1)
kθ − θ − 1
+
=
= (1 − sx )(−σ)
= x,P x + sx =
1+θ
1+θ
1+θ
Usamos la ecuacion de Slutsky, recordando que
x C P x
5.7 Suponga que una persona considera que el queso y el jamón son complementos puros; es decir que siempre utilizará una rebanada de jamón con una
de queso para hacer un sandwich de jamón y queso. Suponga también que el
jamón y el queso son los únicos bienes que adquiere la persona y que el pan es
gratis. Demuestre:
•
Que si el precio del jamón es igual al precio del queso, entonces la elasticidad precio propio de la demanda de jamón es 0.5 y la elasticidad precios
cruzados de la demanda de jamón con relación al precio del queso también
es 0.5.
18
Como las proporciones entre h y c son jas podemos notar que la demanda
de jamón es:
I
(Ph + Pc )
∂h
Ph (Ph + Pc )
−I
−Ph
h,P h =
×
=
=
2
∂Ph
(Ph + PC )
I
(Ph + Pc )
h=
De igual forma podemos obtener:
−Pc
(Ph + Pc )
si Ph = Pc sucede
h,P c =
Luego
•
que
h,P h = h,P c = −0.5
Explique por qué los resultados del inciso anterior tan sólo reejan los efectos ingreso, pero no los efectos sustitución. ¾Cuáles son las elasticidades
precio compensado en este problema?
Se sabe que en proporciones jas no hay efectos de sustitución.
Aquí las
elasticidades precio compensadas son cero, por lo que la ecuación de Slutsky
muestra lo siguiente:
x,px = 0 − sx = −0.5
•
Utilice los resultados del inciso anterior para demostrar los cambios que
registrarían sus respuestas al inciso a si el precio de una rebanada de jamón
es el doble que él de una rebanada de queso.
Tenemos
•
Ph = 2Pc
del inciso a) tomamos que
h,P h =
−2
,
3
h,P c =
−1
3
Explique cómo podría resolver este problema, por intuición, suponiendo
que esta persona sólo consume un bien, o sea un sandwich de jamón y
queso.
Si la persona consume sólo sándwiches de jamón y queso, la elasticidad
precio de la demanda de aquellos debe ser -1.
La elasticidad del precio de
los componentes reeja el efecto proporcional de un cambio en el precio del
componente sobre el precio del todo el sándwich. Si miramos en el inciso a, por
ejemplo, un aumento de 5% en el precio del jamón se incrementará el precio de
un sándwich en un 2.5 % y que hará que la cantidad demandada caiga un 2.5
%.
5.8 El inciso e del problema 5.6 tiene varias aplicaciones muy útiles porque
demuestra cómo las respuestas del precio dependen, al nal de cuentas, de los
parámetros fundamentales de la función de utilidad.
En concreto, utilice ese
resultado y la ecuación de Slutsky en términos de elasticidad para demostrar:
•
En el caso Cobb-Douglas
(σ = 1) la relación siguiente se cumple
x y y : x,P x + y , Py = −2
elasticidades precio propio de
19
entre las
x,P x = −(1 − sx )σ − sx
y,P y = −sx σ − sy
Por lo tanto:
x,P x + y,P y = −σ − 1
La suma es igual a
•
Si
−2
que es el caso trivial de Cobb-Douglas
σ > 1, x,P x + y,P x < −2
σ < 1, x,P x + y,P x > −2
y si
Ofrezca una
explicación intuitiva de este resultado.
El resultado se puede obtner usando el incisio a). Intuitivamente, elasticidades precio son grandes cuando
•
σ
es grande y pequeña cuando
σ
es pequeña.
¾Cómo generalizaría este resultado a casos que incluyen más de dos bienes?
Explique si esta generalización tendría signicado especial.
Una posible generalización de la función CES varia variables es posible, pero
la restricción que se impone sobre el comportamiento por esta función muy
probablemente no sean sostenibles.
5.9Las tres relaciones de agregación que se presentan en este capítulo pueden
ser generalizadas a una cantidad cualquiera de bienes. Este problema le pide
que haga justo eso. Suponemos que hay
los ingresos destinada al bien
i.
n
bienes y que
si
denota la fracción de
Además, denimos las elasticidades siguientes:
i,j =
∂xi
I
=
∂I
xi
i,j =
∂xi
Pj
=
∂Pj
xi
Utilice la notación para demostrar:
•
Homgeneidad:
Pn
j=1 i,j
+ i,j = 0
Se sabe que la demanda de cualquier bien es Homogenea de Grado cero, el
teorema de Euler muestra que:
∂xi
∂xi
+I
=0
∂Pj
∂I
1
multiplicamos por
vamos
x
Pn
Pn
j=1
Si
•
Pj
Agregación de Engel :
a obtener el resultado deseado, que mostrado.
j=1 si i,I
=1
20
Tomamos la restriccion presupuestaria :
P
i
Pi x i = I
La diferenciamos con respecto al ingreso y obtenemos:
P
i
Pi
∂xi
=1
∂I
Multiplicamos cada termino por:
Pn
j=1 si i,I
•
xi I
xi I
y obtenemos:
=1
Agregación de Cournout:
Pn
j=1 si i,j
= −sj
Diferenciamos la restricción Presupuestaria respcto a
P
Pj :
∂xi
+ xj = 0
i Pi
∂pj
Multiplicamos por
xi
Pj
×
I
xi
Tenemos así:
Pn
j=1 si i,j
= −sj
5.10 En un periodo de tres años, un individuo observa el siguiente comportamiento de consumo:
•
Px
Py
x
y
Año 1
3
3
7
4
Año 2
4
2
6
6
Año 3
5
1
7
3
¾Este comportamiento es congruente con el gran axioma de la preferencia
revelada?
El año 2 revela su prefrencia sobre el año 1 ya que cuestan lo mismo a precios
del año 2. Además el año 2 se revela preferido al año 3 por la misma razón pero
en el año 3, el paquete del año 2 cuesta menos que el año 3 y aún asi no se elige.
Por lo tanto se viola el axioma.
21