aporte_calculo_integral

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APORTE COLABORATIVO MOMENTO 3 POR:
JOHN JAIRO RAMOS
COD: 13.070.426
4.
dx
x
x


1
0
1
Resolvemos primero la integral indefinida:

1
) (
2
1
x
dx x
Sea x u 
2
u x  udu dx 2 
Entonces la integral queda:

1
) 2 (
2
u
udu u
=

1
2
2
2
u
du u
Ahora sea x u  tan   d du
2
sec 
Entonces

1 tan
sec tan
2
2
2 2

   d
=


  
sec
sec tan
2
2 2
d
Porque:  
2 2
sec 1 tan  
Así la integral queda:

   d sec tan 2
2
=

    d sec ) 1 (sec 2
2
=
 
     d d sec 2 sec 2
3
Estas integrales se pueden encontrar en una tabla. Así es igual a:
          tan sec tan sec tan sec 2 ) tan sec
2
1
tan sec
2
1
( 2        Ln Ln Ln
Para regresar a las variables originales tenemos que:
Sí 0  x ; x u  ; 0  u ; u
1
tan

  ; 0  
Sí 1  x ; x u  ; 1  u ; u
1
tan

  ;
4

 
Así que la integral original es :
4
0
1
0
) tan sec tan (sec
1

      


Ln dx
x
x
=
= )
4
tan( )
4
sec( )
4
tan( )
4
sec(
   
  Ln
= ) 0 tan( ) 0 sec( ) 0 tan( ) 0 sec(   Ln
= 1 2 2 1 1 2 2       Ln Ln Ln
5.
dx
x
x sen


2
0
2
) ( cos 25
) (

Resolvemos primero
dx
x
x sen

 ) ( cos 25
) (
2
Sea x u cos  senxdx du  
=



2
25 u
du
Ahora, sea  tan 5  u ;  d du
2
sec 5 
Entonces:
=  

 

 

 
5
1
5
1
sec
sec 5
5
1
tan 1
sec 5
25
5
tan 25 25
sec 5
2
2
2
2
2
2
   
     

 

 d
d d d
Tenemos, cuando:
Si
2

 x ; 0  u ; 0  
Si 0  x ; 1  u ; 31 , 11  
Así que:
262 , 2
5
31 , 11
0 )
5
1
(
) ( cos 25
) (
0
31 , 11
0
2
2
     




dx
x
x sen
8.
dx
x

1
1
2
Sea  sec  x    d dx tan sec 
Así que la integral queda:
   

  

  

  
tan sec sec
n ta
n ta sec
tan
tan sec
1 sec
tan sec
2 2
  


 

   
Ln d
d d d
Regresando a las variables originales tenemos:
1 tan sec
2
    x x Ln Ln  
9.

dx x sen e
x
) (
Sea
x
e u  senxdx dv 
dx e du
x

x v cos  
dx xe x e
x x

   cos cos
Nuevamente tenemos: Sea
x
e u 
dx e du
x

xdx dv cos 
senx v 
dx senx e dx senxe senx e x e
x x x x
 
     cos
Despejando la integral tenemos:
) cos ( ) ( 2 x senx e dx x sen e
x x
 

2
) cos (
) (
x senx
e dx x sen e
x x



10.
dx
x x
x

 

1 2
4 5
2
Podemos expresar el denominador como:
)
2
1
)( 2 2 ( ) 1 2 (
2
     x x x x
Ahora expresemos:
) 2 1 )( 2 2 (
4 5
 

x x
x
de otra forma
) 2 1 ( ) 2 2 ( ) 2 1 )( 2 2 (
4 5




 

x
B
x
A
x x
x
Entonces ) 2 2 ( ) 2 1 ( 4 5      x B x A x
Para 0  x
B
A
2
2
4    
Para 1  x
B
A
4
2
1   
Tenemos el sistema:
B
A
2
2
4     B
A
4
2
1   
Sumando :
2
1
6 3      B B
Con lo que se tiene, despejando A:
6
6 2 * ) 2 1 ( 2 * ) 4 1 (

    
A
B A
Así tenemos que:
dx
x x
x

 

1 2
4 5
2
=
 


 ) 2 1 ( 2
1
) 2 2 (
6
2
x
dx
x
dx
 


 ) 2 1 ( 2
1
1
3
x
dx
x
dx
) 2 1 (
2
1
1 3    x Ln x Ln